Expresión algebraica
Una
expresión algebraica es una
combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen
representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas.
Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático
expresiones del lenguaje habitual.
Tipos de expresiones algebraicas
- Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 sumando) y polinomios (varios sumandos).
- Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos), ...
- Dos expresiones algebraicas separadas por un signo =\;\! se llama ecuación.
- Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes
Valor
numérico de una expresión algebraica
Si en una expresión algebraica se sustituyen las
letras por números y se realiza la operación indicada se obtiene un número que
es el valor numérico de la expresión algebraica para los valores de las letras
dados.
Ejemplo: Valor numérico de una expresión
algebraica
a) Halla el valor numérico del perímetro y del
área de un terreno rectangular cuyos lados miden 50 y 30 m, respectivamente.
Clasificación de las
expresiones algebraicas
Para su estudio las expresiones se clasifican en:
Monomios:
Son todas aquellas expresiones algebraicas que
posee un solo término algebraico.
| 5 x y z | - 5 |
| 4 x² y² z | w x y z |
| x y | 4 x y² z² |
Binomios:
Son todas aquellas expresiones algebraicas que
están formadas de don y solo dos términos algebraicos, separado por el signo
más o menos
| - 5 x y + 6 z | x - 5 |
| 4 x² - 5 y² | 2 w - y |
| x - y | - 4 y² - 2 z² |
Trinomios.
Son todas aquellas expresiones algebraicas que
están formadas de tres y solo tres términos algebraicos separados por el signo
más o menos.
| - 5 x + 6 z - 3 | x + y - 5 |
| 4 x² - 5 y² - 1 | 2 w + 3 x - y |
| x - y + z | x² - 2 x - 7 |
Polinomios:
Son
todas aquellas expresiones algebraicas que están formadas por dos o más
términos algebraicos separados por el signo mas o menos| - 5 y - z | x5 + x4 - x3 + x2 - x - 5 |
| x² + x - 5 | w7 - y7 |
| x4 - 3x3 + x2 - x + 3 | 4 y16 - 2 z16 |
Grado de una expresión algebraica:
El grado de una expresión algebraica se define
por el término que posee el mayor grado dentro de la expresión algebraica o
polinomio y el número de incógnitas de un polinomio es el número de literales
que intervienen en el mismo.
| 4 x5 - 5 x4 + 6 x3 - 7 x2 - 6 x + 5 | 5o. grado | ||
| 3 x3 y2 - 4 x5 y3 - x4 y3 - 3 x2 y5 - 3 x2 y6 | 8o. grado | ||
| 2 x3 y2 z4 - 3 x3 y2 z5 - 5 x5 y3 z6 - 4 x4 y3 z3 | 14o. grado | ||
| x4 y5 - 5 x5 y5 - 4 x5 y4 | |||
Funciones polinómicas
Las funciones polinómicas son aquellas que surgen
de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. Son
una clase de funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables
(tienen derivadas de todos los órdenes finitos).
A las funciones polinómicas de grado 0 se les
llama funciones constantes
Grado 1 se les llama funciones lineales,
Grado 2 se les llama funciones cuadráticas,
Grado 3 se les llama funciones cúbicas.
Operaciones con polinomios
Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando
los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar
polinomios se multiplica cada término de un monomio por el término del otro
monomio y se simplifican los monomios semejantes, posteriormente.
Factorización
Para factorizar un polinomio de segundo grado
completo (con todos los términos) se divide por el inverso de una de sus raíces
sumado con la incógnita, siendo los factores el número por el que dividimos y
el resultado; ya que no hay resto, cumpliéndose así que dividendo = divisor ?
cociente + resto. En caso de que el polinomio no tenga término independiente se
sacará la incógnita como factor común y ya está factorizado. También se puede
factorizar usando las igualdades notables.
Ejemplos
Las funciones polinómicas de una variable (x), se
corresponden con diversas curvas planas, que se pueden representar en un
sistema de coordenadas cartesianas XY.
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE POLINOMIOS
1. Considere los siguientes polinomios:
Determine el polinomio que representan:
a) p(x) + q(x).
b) p(x) - h(x).
c) r(x)× h(x).
Potenciación
Potencia de un número es el resultado tras la
sucesiva multiplicación de un número por sí mismo.
Una
potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo.
En la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes:- La base
es el número que se multiplica por sí mismo- El exponente es el número que
indica las veces que la base aparece como factor. Una potencia se escribe
tradicionalmente poniendo el número base de tamaño normal y junto a él, arriba
a su derecha se pone el exponente, de tamaño más pequeño. Para nombrar o leer
una potencia decimos primeramente el número base, después decimos lo referente
al exponente. Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado",
cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos
se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia
El área de cualquier cuadrado es igual al lado
multiplicado por sí mismo, es decir, al cuadrado de la medida de su lado.
Debe observarse con cuidado que:
Propiedad 2
La segunda propiedad se refiere a la potencia de
una potencia, es decir, la operación de elevar un número a una potencia, y el
resultado se eleva a otra potencia, por ejemplo:
Propiedad 3
Al realizar el siguiente producto, elevado a una
potencia:
Propiedad 4 La propiedad que sigue ahora es muy
sencilla, pero muy importante:
Se puede observar ahora lo que ocurre cuando se
multiplican potencias con distintas bases y distintos exponentes.
En este caso, no hay ninguna propiedad especial
de la potenciación que permita escribir este producto de potencias de otra
manera que facilite el cálculo.
Sin embargo, hay casos de multiplicación de
potencias de distinta base, en los cuales sí se puede aplicar alguna propiedad
de la potenciación, como el siguiente:
Se han visto hasta ahora propiedades de la
potenciación que se refieren a productos de potencias. Se mostró cómo una
expresión se puede escribir de una manera más sencilla usando estas
propiedades. Es muy natural que se puedan hacer esos cambios, porque la
potenciación no es más que una forma abreviada de expresar una multiplicación,
y al multiplicar potencias, lo que se hace es multiplicar productos, es decir
se está siempre multiplicando.
En cambio, cuando se combina la potenciación con
la suma o la resta, se están realizando operaciones diferentes y NO siempre se
puede aplicar alguna de las propiedades vistas hasta ahora. Por ejemplo:
Aquí están expresadas dos operaciones: la suma
y el producto. La manera más sencilla y directa de realizar estas operaciones
es simplemente calcular primero las potencias y luego sumarlas
Productos notables
Son aquellos productos que se rigen por reglas
fijas y cuyo resultado puede hallarse por simple inspección. Su denominados
también "Identidades Algebraicas". Son aquellos productos cuyo
desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente. Las más importantes
son:
Ejemplos:
Simplificar :
Simplificar :
Solución
Desarrollando las potencias mediante productos
notables tenemos
:
Factorización
En álgebra, la factorización es expresar un
objeto o número (por ejemplo, un número, una matriz o un polinomio) en el
producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números
debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el
objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 ×
5; y a²-b² se factoriza en el binomio conjugado (a - b)(a + b).
La Factorización se utiliza normalmente para
reducir algo en sus partes constituyentes. Factorizar enteros en números primos
se describe en el teorema fundamental de la aritmética y factorizar polinomios
en el teorema fundamental del álgebra.
Factorizar significa descomponer en dos o más
componentes. Por ejemplo: Factorizar los siguientes números 15= 3x 5 27=3 x 9
99 = 9 x 11 6 = 3 x 2 y así
En álgebra se emplearan técnicas que nos ayuden a
factorizar expresiones.
Como por ejemplo: Diferencia de Cuadrados: Se conocen
como diferencia de cuadrados, expresiones de este tipo
X² - Y² = (X -Y )(X + Y) Y esa es la manera de
factorizarlas. Veamos algunos ejemplos. 4X² - 9Y² = (2x + 3y) (2x - 3y) 25X² -
49Y² = (5x - 7y) (5x + 7y) c² - 9Y² = (c + 3y) (c - 3y)
De la misma manera lo podemos aplicar a números
por ejemplo: 9 - 4 = (3 + 2) (3 - 2) 121 - 81 = (11 + 9) (11 - 9) 64 - 16 = (8
- 4) (8 + 4)
Lo que se hizo fue buscar la raíz cuadrada de
cada número y como están restados, se procedió a factorizarlos. Incluso si los
números no tuvieran raíz exacta, se puede emplear el mismo procedimiento. Y
también se aplica a números fraccionarios. (Como el editor no permite el
símbolo raíz cuadrada emplearemos R, así R2 seria raíz cuadrada de 2). Por
ejemplo: 5 - 2 = (R5 + R2) (R5 - R2) 9 - 5 = (R9 + R5) (R9 - R5) 11 - 8 = (R11
- R8) (R11 + R8) 125 - 94=( R125 + R94) (R125 - R 94) (a+2x+1)² - ( x+2a+a²)² =
(a+1 )² - (x+2a+a²)² = {( a+1 )+(x+2a + a²)} - {( a+1 )-(x+2a + a²)}
FACTORIZAR UN POLINOMIO.
Antes que nada, hay que decir que no todo
polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los
números complejos sí se puede. Existen métodos de factorización, para algunos
casos especiales.
- · Binomios
- · Diferencia de Cuadrados
- · Suma o Diferencia de Cubos
- · Suma o Diferencia de Potencias impares Iguales
- · Trinomios
- · Trinomio Cuadrado Perfecto
- · Trinomio de la forma x²+bx+c
- · Trinomio de la forma ax²+bx+c
- · Polinomios
- · Factor Común
Factor común
monomio
Factor común por agrupación de términos
Factor común polinomio
Primero hay que sacar el factor común de los
coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente)
ç
Trinomio cuadrado perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los
cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de
las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos reordenar los términos dejando de
primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la
raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis,
separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el
paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Ejemplo:
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